Нужно ли выписываться с предыдущего места, чтобы прописаться по новому?

Нет! Не нужно!

Вам никуда не надо ехать и не надо самостоятельно выписываться (сниматься с постоянной регистрации) и/или военного учета. Вам никуда не надо ехать, чтобы получить листок убытия. В соответствии с постановлением правительства РФ по регистрации и снятию граждан РФ с регистрационного учёта по месту пребывания и месту жительства (ред. от 23.03.2008), процесс регистрации будет проходит следующим образом.

Заполняется форма - 6. На основании этой формы, текущий Миграционный Пункт (где будет происходить новая регистрация) направит уведомление в Миграционный Пункт вашего предыдущего места прописки.

Вы будете автоматически сняты с постоянной регистрации в прошлом месте. Свидетельством правомерности данных действий, будут служить два штампа, которые вам поставят в паспорт. Один – о снятии с предыдущего места регистрации, другой – новая постоянная регистрация в Московской области.

31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
a) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства. При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.